Vector nulo o cero.
Se denomina vector cero o vector nulo al vector en el cual todas las componentes son cero y por tal razón su módulo es cero. Si el módulo de un vector \(||\mathbf{u}||=0\) entonces obligatoriamente \( \mathbf{u}=\mathbf{0}\)
Vectores unitarios.
Se dice que un vector \(\mathbf{u}\) es un vector unitario si el módulo del vector \(\mathbf{u}\) es uno, esto es \(||\hat{\mathbf{u}}||=1.\) Por lo general se denota como \(\hat{\mathbf{u}},\) Un vector unitario \(\hat{\mathbf{u}}\) en
la dirección de otro vector cualquiera \(\mathbf{v}\) queda determinado al dividir las componentes del vector \(\mathbf{v}\) entre su módulo.
Vector unitario \(\hat{\mathbf{u}}\) en dirección \( \mathbf{v}\)
$$\hat{\mathbf{u}}=\frac{\mathbf{v}}{||\mathbf{v}||}=\frac{\mathbf{1}}{||\mathbf{v}||}\mathbf{v}$$
Ejemplo. Determinar el vector unitario en la dirección del vector \(\mathbf{v}=\left< 3,0,4\right>\)
Solución: aplicando la definición de vector unitario,
\begin{align}
\hat{\mathbf{u}}&=\frac{\mathbf{1}} {\left|\left|\mathbf{v}\right|\right|}\mathbf{v}\\
\hat{\mathbf{u}}&=\frac{1}{\sqrt{3^2+0^2+4^2}}\left< 3,0,4\right>\\
\hat{\mathbf{u}}&=\left<\frac35,0,\frac45\right>
\end{align}
En términos de las coordenadas espaciales \(x,\ y,z,\) se definen los llamados vectores unitarios canónicos, para el plano \( \mathbf{i}=\left< 1,0\right>;~ \mathbf{j}=\left< 0,1\right>\) mientras que en espacio \(\mathbf{i}=\left< 1,0,0\right>;~ \mathbf{j}=\left< 0,1,0\right>, ~\mathbf{k}=\left< 0,0,1\right>\) cuya la descripción geométrica se muestra en la figura de la izquierda.
En función de estos vectores un vector \(\mathbf{v}\) se escribe como, $$\mathbf{v}=v_x\mathbf{i}+v_y\mathbf{j}+v_z\mathbf{k}$$ donde \(v_x, v_y\) y \(v_z\) son las componentes del vector.
Si se conoce la dirección \(\phi\) de un vector en el plano \(\mathbf{v},\) entonces un vector unitario en la dirección del vector \(\mathbf{v}\) es el vector $$\hat{\mathbf{u}}=\cos{\phi}\mathbf{i}+\sin{\phi}\mathbf{j}.$$
Operaciones con vectores.
Múltiplo escalar de un vector.
En el contexto de los vectores los números son llamados escalares, así cualquier \(c|c\in\mathbb{C}\) es un escalar, el producto de un escalar \(c\) por un vector \(\mathbf{u}\) esta dado por \(c\mathbf{u}=\left< cu_x,cu_y,cu_z\right>.\)
Si el módulo de un vector \(\mathbf{u}\) se multiplica por un escalar \(c\) (distinto de cero por convención) el resultado es un nuevo vector cuyo modulo es c veces el módulo del vector \(\mathbf{u},\) esto es, y de esto se concluye que,
Módulo de un múltiplo escalar.
$$||c\mathbf{u}||=c||\mathbf{u}||$$ La demostración a esto es bastante simple, partiendo de \(c\mathbf{u}=(cu_x,cu_y,cu_z):\) \begin{align} \left|\left|c\mathbf{u}\right|\right|&=\sqrt{\left(cu_x\right)^2+\left(cu_y\right)^2+\left(cu_z\right)^2}\\ \left|\left|c\mathbf{u}\right|\right|&=\sqrt{c^2u_x^2+c^2u_y^2+c^2u_z^2}\\ \left|\left|c\mathbf{u}\right|\right|&=\sqrt{c^2\left(u_x^2+u_y^2+u_z^2\right)}\\ \left|\left|c\mathbf{u}\right|\right|&=c\sqrt{\left(u_x^2+u_y^2+u_z^2\right)}\\ \left|\left|c\mathbf{u}\right|\right|&=c\left|\left|\mathbf{u}\right|\right| l.q.q.d.\end{align}
Adición de vectores.
La adición de los vectores \(\mathbf{u}\) y \(\mathbf{v}\) en el plano puede realizarse gráficamente por un método conocido como el método del paralelogramo el cual consiste en la representación gráfica de los vectores de modo que el punto inicial de \(\mathbf{v}\) coincide con el punto final de \(\mathbf{u}\) y el vector resultante \(\mathbf{r}=\mathbf{u}+\mathbf{v}\) es el vector cuyo punto inicial coincide con el punto inicial de \(\mathbf{u},\) y cuyo final coincide con el punto final de \(\mathbf{v}.\) Aunque este método es funcional por considerarse un método tedioso se prefiere hacer énfasis en la adición de vectores a través del método de las componentes. El método del paralelogramo (también llamado método del triángulo) se puede observar en las figuras de la izquierda.
Adición de vectores por componentes.
Sean los vectores \(\mathbf{u}\) y \(\mathbf{v}\) definidos en el plano o el espacio, entonces el vector resultante \(\mathbf{r}=\mathbf{u}+\mathbf{v}\) está dado por,
Suma vectorial por componentes \(\mathbf{r}=\mathbf{u}+\mathbf{v}\)
\(\mathbf{r}=(u_x+v_x)\mathbf{i}+(u_y+v_y)\mathbf{j}\) para el plano.
\(\mathbf{r}=(u_x+v_x)\mathbf{i}+(u_y+v_y)\mathbf{j}+(u_z+v_z)\mathbf{k}\) para el espacio.
Ejemplo. Dados \(\mathbf{u}=\left< 3,4\right>\) y \(\mathbf{v}=\left< -2,-1\right>\) determinar \(\mathbf{r}=\mathbf{u}+\mathbf{3v}.\)
Solución:\(\mathbf{r}=\left< 3+3(-2),4+3(-1)\right>=\left<-3,1\right>\)
Ejemplo. Dado el vector \(\mathbf{u}=3\mathbf{i}+4\mathbf{j}-5\mathbf{k}\) y el vector \(\mathbf{v}=4\mathbf{i}-2\mathbf{k}\) determinar \(\mathbf{r}=\mathbf{2u}+\mathbf{5v}.\)
Solución: aplicando la definición del producto de un escalar y un vector \(c\mathbf{u}=\left< cu_x,cu_y,cu_z\right>\) al junto con la definición de suma,
\begin{align}
\mathbf{r}&=(u_x+v_x)\mathbf{i}+(u_y+v_y)\mathbf{j}+(u_z+v_z)\mathbf{k}\\
\mathbf{r}&=2(3\mathbf{i}+4\mathbf{j}-5\mathbf{k})+5(4\mathbf{i}-2\mathbf{k})\\
\mathbf{r}&=6\mathbf{i}+8\mathbf{j}-10\mathbf{k}+\mathbf{20i}-10\mathbf{k}\\
\mathbf{r}&=\mathbf{2}6\mathbf{i}+8\mathbf{j}-20\mathbf{k}\end{align}
Producto escalar de dos vectores.
Dados dos vectores \(\mathbf{u}=\left< u_1,u_2,u_3,⋯,u_n\right>\) y \(\mathbf{v}=\left< v_1,v_2,v_3,⋯,v_n\right>\) entonces el producto escalar o producto interno de ellos, también llamado producto punto por su notación \(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}\) se define como,
Producto escalar de vectores
$$\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1v_1+u_2v_2++u_3v_3+\cdots+u_nv_n$$
Ejemplo. Determinar el producto escalar de los vectores dados.
\begin{align}
a.\ \mathbf{u}&=\left< 7,11\right> ~{\rm y} ~\mathbf{v}=\left< 3,9\right>\\
b.\ \mathbf{u}&=\left< 5,7,11\right>~ {\rm y}~ \mathbf{v}=\left< -2,0,-3\right>
\end{align}
Solución: aplicando la definición de producto punto.
\begin{align}
a.&~~\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=7(3)+11\left(9\right)=120\\
b.&~~\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=5\left(-2\right)+7\left(0\right)+11\left(-3\right)=-43
\end{align}
Propiedades del producto escalar.
El producto escalar hereda algunas de las propiedades directas de la multiplicación como se muestra a continuación.
1. Múltiplo escalar: \(c(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})=c\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\mathbf{u}\cdot c\mathbf{v}\)
2. Conmutativa: \(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}\)
3. Distributiva: \(\mathbf{r}\cdot(\mathbf{u}+\mathbf{v})=\mathbf{r}\cdot\mathbf{u}+\mathbf{r}\cdot\mathbf{v}\)
4. Elemento absorbente: \(\mathbf{0}\cdot\mathbf{u}=\mathbf{0} \)
5. Producto escalar consigo mismo: \(\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}=||u||^2\)
Ángulo entre dos vectores.
Existen diversas formas de observar el ángulo entre dos vectores, una de ella es a través de la definición alternativa del producto escalar. Sean los vectores \(\mathbf{u}\) y \(\mathbf{v}\) dos vectores cualquiera no nulos, definidos en el plano o en el espacio y sea \(\theta\) el ángulo entre ellos, entonces,
Ángulo entre dos vectores
$$\cos{\theta}=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{||u||||v||} ⟹ \theta=\cos^{-1}\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{||u||||v||}$$ La demostración a esto se obtiene de manera directa de la ley de los cosenos, y las propiedades del producto escalar.
Ejemplo. Determinar el ángulo entre los vectores dados para cada una de las situaciones. \begin{align} 1.~&\mathbf{u}=\left< 2,3,5\right> ~{\rm y}~ \mathbf{v}=\left< 3,4,7\right>\\ 2.~&\mathbf{u}=\left< 2,3,0\right> ~{\rm y}~ \mathbf{v}=\left< 7,5,0\right>\\ 3.~&\mathbf{i}=\left< 1,0,0\right> ~{\rm y}~ \mathbf{k}=\left< 0,0,1\right>\\ \end{align} Solución: aplicando la definición del ángulo, \begin{align} \theta=&\cos^{-1}\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{||u||||v||}\\ \theta_1=&\cos^{-1}{\frac{2\left(3\right)+3\left(4\right)+5\left(5\right)}{\sqrt{2^2+3^2+5^2}\sqrt{3^2+4^2+7^2}}}=\cos^{-1}{\left(\frac{43}{2\sqrt{703}}\right)}\approx35.8°\\ \theta_2=&\cos^{-1}{\frac{2\left(7\right)+3\left(5\right)+0\left(0\right)}{\sqrt{2^2+3^2+0^2}\sqrt{7^2+5^2+0^2}}}=\cos^{-1}{\left(\frac{29}{\sqrt{962}}\right)}\approx20.8°\\ \theta_3=&\cos^{-1}{\frac{1\left(0\right)+0\left(0\right)+0\left(1\right)}{\sqrt{1^2+0^2+0^2}\sqrt{0^2+0^2+1^2}}}=\cos^{-1}{\left(\frac{0}{1}\right)}=0°\\ \end{align} Note de este resultado que el producto escalar \(\mathbf{i}\cdot\mathbf{k}=0,\) esto no es casualidad por ser los vectores canónicos ortogonales.
Definición de vectores ortogonales
El vector \(\mathbf{u}\) es ortogonal a \(\mathbf{v}\) si y solo si \(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0\)
Productos vectoriales.
Como una primera aplicación de los determinantes se presenta el producto vectorial de dos vectores \(\mathbf{u}\) y \(\mathbf{v}\) denotado como \(\mathbf{u}\times\mathbf{v}\) también llamado producto cruz, el cual es de gran aplicación en ciencias físicas, este puede definirse en términos del determinante como sigue: